TRƯỜNG THCS TỰ LẬP

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI HỌC KÌ II
Năm học 2025 - 2026
MÔN TOÁN 9

Dạng 1. Xác suất và thống kê
Bài 1: Một giáo viên thể dục đo chiều cao (tính theo cm) của một nhóm học sinh nam lớp 9H
và ghi lại ở bảng sau:
138
141
145
145
139
141
138
141
139
141
140
150
140
141
140
143
145
139
140
143
a) Kích thước mẫu là bao nhiêu?
b) Lập bảng tần số các giá trị.
c) Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.
d) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn của mẫu số liệu
thống kê đó.
Bài 2.
1) Ban phụ huynh đặt tặng áo phông cho 40 học sinh của lớp 9A. Ban phụ huynh đo chiều cao
(đơn vị: centimét) của cả lớp để quyết định chọn các cỡ áo, kết quả cho bởi bảng tần số ghép
nhóm như sau:
Nhóm
150;155 155;160  160; 165 165; 170  170; 175  Cộng
Tần số
5
11
12
8
4
(n)
Xác định tần số ghép nhóm và tìm tần số tương đối ghép nhóm của nhóm

160; 165  .

2) Hình bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm tám phần
bằng nhau và ghi các số 1; 2; 3; ; 8 . Chiếc kim được gắn cố định vào
trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một lần. Tính xác suất của
biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số là hợp số”.
Bài 3.
1) Biểu đồ hình cột sau thống kê về sự yêu thích các môn học của học sinh
khối 9 . Biết mỗi học sinh chỉ chọn một môn yêu thích.
Số học sinh
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0

40
35
25
20

Toán

Ngữ Văn

Tiếng
Anh

Khoa học Môn học
tự nhiên

Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối của dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

1

N = 40

2) Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại. Trên mỗi tấm thẻ được đánh số tương ứng là 2; 3; 5; 8.
Bạn Phi và bạn Thanh lần lượt mỗi người lấy ra 1 tấm thẻ từ hộp (Biết trong mỗi đợt lấy thì
bạn Phi lấy tấm thẻ trước và không bỏ tấm thẻ lại vào hộp). Tính xác suất của biến cố sau: M
“Tích các số ghi trên 2 tấm thẻ là số lẻ”.
Bài 4.

1). Một cuộc điều tra về thời gian một nhóm học sinh làm một bài kiểm tra trắc
nghiệm cho kết quả như sau:
Thời gian (phút)

Tần số
1
5
9
5
Cho biết có bao nhiêu học sinh tham gia điều tra và lập bảng tần số tương đối ghép
nhóm cho kết quả điều tra
2). Một toà nhà chung cư có 30 tầng, được đánh số lần lượt từ 1 đến 30. Bạn Bình
vào thang máy ở tầng trệt, bấm chọn ngẫu nhiên số một tầng để đi lên. Tính xác
suất của các biến cố
A: “Bình đi lên tầng có số là một số nguyên tố”.

Bài 5.
1) Điểm đánh giá học kì I môn Toán của lớp 9A được người ta ghi lại bảng như sau:
8,5
8
8
7,5
9
8,5
7
9
8
8
6,5
9,3
8,5
8,5
6
9
7,5
8,5
8,5
8
8
6
9,3
6,5
8
5,5
5
8
8
8,5
8,5
7,5
8,5
7,5
8
8,5
9
8
8,5
9
Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm cho mẫu số liệu trên với các



.
nhóm 
2) Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để
thẻ được lấy ghi số lẻ và chia hết cho 5
Bài 6 :
1) Một tổ chức khảo sát thời gian sử dụng điện thoại thông minh mỗi ngày của một nhóm
sinh viên thu được kết quả sau:
5;6,5 ; 6,5;8 ; 8;9,5

Tần số tương đối (%)

35

33

30

25

25

20

20
15
10

12

10

5
0

[3;4)

[4;5)

[5;6)

[6;7)

[7;8)

Thời gian (h)

a) Tìm tần số tương đối của nhóm [5;6).
b) Biết số người sử dụng điện thoại trong nhóm [3;4) là 20 người. Tính số người tham
gia khảo sát ban đầu.

2

2) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và nhỏ hơn 40. Tính xác suất của biến
cố M: “ Số tự nhiên được viết ra là bội của 3”.
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
x
x  21
13
B

x  9 (với x ≥ 0 ; x ≠ 9)
x 3 ;
x3
Bài 1: Cho biểu thức
4
1) Tính giá trị của A khi x = .
25
x 7
B
x 3
2) Chứng minh rằng
A

3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B

Bài 2:

3) Tìm giá trị của x để

P

Cho hai biểu thức
1) Tính giá trị của biểu thức
2) Rút gọn biểu thức .
3) Tìm tất cả các giá trị của

A
B có giá trị nguyên.

và
khi

với

để

.

Bài 3: Cho hai biểu thức
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.

Bài 4: Cho hai biểu thức:
1) Tính giá trị của biểu thức khi
2) Rút gọn biểu thức
.
|
P
3) Tìm các số tự nhiên x để |> P

và

với

.

,

Dạng 3: Hàm số và phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1: Cho hàm số y=a x2 ( a ≠ 0 )
a.Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm A (-1; 4)
b.Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được
Bài 2: Cho hàm số y=2 x 2
a. Vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2

.

−1 2
Bài 3: Cho hàm số y= 2 x
a. Vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp bốn
lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung
Bài 4: Giải các phương trình sau:

3

a. 2 x2 −9 x=0
b. −3 x 2−9=0
c. x 2−2 x−5=0
d. −2 x2 + 4 x+ 5=0
Bài 5. Cho phương trình −2 x2 −5 x + 4=0 có hai nghiệm x1, x2.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
Bài 6. Cho phương trình x2 + x – 6 = 0. Gọi

M =( x 1−x 2 )2

là hai nghiệm của phương trình.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức sau :
Bài 7. Cho phương trình
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của
A=x1 ( x 1+ 2024 ) + x 2 ( x2 +2025 ) −x 2.
biểu thức
Bài 8. Cho phương trình

có hai nghiệm phân biệt

phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

. Không giải
.

Bài 9. Cho phương trình bậc hai: x – 8x + m = 0 (1). Biết rằng phương trình (1) có một
2

nghiệm là

. Tính giá trị của biểu thức

Bài 10. Biết rằng phương trình bậc hai

có một nghiệm là

.

Tính giá trị biểu thức
.
2
Bài 11: Cho phương trình x −2 x+ m−3=0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
biệt thỏa mãn: x 21+ x22 =¿8
Bài 12: Cho phương trình x 2+ 8 x−6=0 có hai nghiệm x 1 ; x 2. Tìm các giá trị của m thỏa
mãn

2

70−m x1
=x 1 +m x 2
x2

Dạng toán giải bằng cách lập phương trình:
Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm một lối đi xung
quanh vườn thuộc đất của vườn rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2
Tính các kích thước của vườn.
Bài 2: Để chuẩn bị cho chuyến đi du lich xuyên Việt, anh Nam dự định dùng 1,8 triệu
đồng để đổ xăng. Nhưng do giá xăng tăng thêm 6 nghìn đồng/lít nên với số tiền trên,
anh Nam chỉ đổ được số lít xăng bằng 0,8 lần so với số lượng dự kiến. Tính giá tiền mỗi
lít xăng trước khi tăng giá?
Bài 3: Hằng ngày bạn Mai đi học bằng xe đạp, quãng đường từ nhà đến trường dài 3
km. Hôm nay, xe đạp bị hỏng nên Mai nhờ mẹ chở đi đến trường bằng xe máy với vận
tốc lớn hơn vận tốc khi đi xe đạp là 24 km/h, cùng một thời điểm khởi hành như mọi
ngày nhưng Mai đã đến trường sớm hơn 10 phút. Tính vận tốc của bạn Mai khi đi học
bằng xe đạp.

Bài 4: Nhân dịp kỷ niệm sinh nhật Bác Hồ tỉnh Lâm Đồng phát động phong trào trồng cây gây
rừng, một lớp 9 của trường THCS được giao trồng 240 cây. Nhưng khi thực hiện có 8 bạn nghỉ
nên mỗi học sinh còn lại của lớp phải trồng thêm 1 cây so với dự định. Hỏi lớp 9 đó có bao
nhiêu học sinh? (biết số cây trồng của mỗi học sinh như nhau).

4

Bài 5 : Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi
quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của
canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Bài 6 : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ, nếu làm
riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 7 giờ. Hỏi nếu
làm riêng thì thời gian để mỗi đội hoàn thành công việc là bao nhiêu?
Bài 7 : Một tổ sản xuất phải làm 200 sản phẩm trong một thời gian với năng suất nhất định.
Khi thực hiện, tổ tăng năng suất mỗi ngày làm thêm 10 sản phẩm so với dự định. Vì vậy công
việc được hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Tính số sản phẩm mỗi ngày tổ phải sản xuất
theo dự định.
Dạng 5 : Toán thực tế hình học
Bài 1 : Một bể đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là cao 2,3m ; dài
11,5 m ; rộng 3,1 m
a. Mực nước trong bể cách miệng bể 0,8m
b. A. tính thể tích nước có trong bể.
c. Người ta thả một tượng đá không ngấm nước vào bể nước dâng lên bằng miệng bể
(không tràn ra ngoài) tính thể tích tượng đá
Bài 2 : Hộp phô mai hình trụ có đường kính đáy 12,2 cm, chiều cao 2,4
cm
a) Tính diện tích phần giấy gói xung quanh hộp phô mai (gồm cả hai
đáy)
b) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp nằm sát nhau vừa khít trong hộp
(Hình 3). Tính thể tích một miếng phô mai.
Bài 3: Một hộp đựng bóng có dạng hình trụ đựng được vừa khít 3

quả bóng như hình vẽ bên. Coi quả bóng có dạng hình cầu với đường kính
.
a) Tính thể tích của hộp đựng bóng.
b) Tính thể tích phần khoảng không trong hộp.
Bài 4: Gia đình bạn Khánh đang sử dụng một thùng đựng nước dạng hình
trụ với bán kính đáy bằng 50cm và chiều cao 150cm. Thùng đựng nước được đặt thẳng
đứng trên mặt sàn. Lấy π ≈3,14 và coi chiều dày của thùng không đáng kể
a) Tính diện tích xung quanh của thùng đựng nước
b) Sau một thời gian gia đình bạn Khánh sử dụng nước trong thùng thì mực nước
còn lại đã thấp hơn 40cm so với mực nước ban đầu. Tính thể tích nước trong
thùng mà gia đình nhà bạn Khánh đã sử dụng trong khoảng thời gian đó.
Dạng toán: Hình học tổng hợp
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn (ABAD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác A). Gọi K là chân
đường vuông góc kẻ từ điểm E đến đường thẳng AB
a. Chứng minh bốn điểm E; D; B; K cùng thuộc một đường tròn
b. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm S. Chứng minh EA là tia phân
giác của góc CEK và AB. AC = AE. AS
c. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Chứng minh SI ⊥ HK

5

Bài 2: Cho tam giác

nhọn không cân

nội tiếp

. Đường thẳng qua O

vuông góc với
tại
, cắt cung
lớn, cung
nhỏ của đường tròn
lần lượt tại
và . Gọi D là giao điểm của
và
.
a) Chứng minh tứ giác
là tứ giác nội tiếp.
2
^
b) Tia phân giác của AOC cắt đường thẳng
tại . Chứng minh K B =KD . KA và tam
giác
đồng dạng với tam giác
.
c) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
. Chứng minh
vuông góc với
.

Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) có đường kính AB. Kẻ dây CD không đi qua tâm vuông
góc với AB tại điểm I ( I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ BC ( E khác
B và C ), AE cắt CD tại K .
a) Chứng minh bốn điểm K , E , B , I cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi P là giao điểm của tia BE và tia DC , Q là giao điểm của AP và BK . Chứng
EIQ .
minh AK . AE= AI . AB và IK là tia phân giác của góc ^
c) Gọi T là trung điểm của KP . Chứng minh khi dây CD thay đổi và vuông góc
với AB thì đường tròn ngoại tiếp tam giác TQE luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4: Cho nửa đường tròn
đường kính AB = 2R lấy điểm C thuộc nửa đường
tròn. Kẻ CH ⊥ AB tại H gọi M; N lần lượt là hình chiếu của H trên AC; BC
a) Chứng minh tứ giác CMHN nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ các điểm I , K lần lượt là trung điểm của AH , HB . Gọi là giao điểm IN và
KM
Chứng minh ΔNMC ∽ Δ ABC và HP ⊥ MN .
c) Xác định vị trí điểm trên nửa đường tròn (O) để M K 2+ N I 2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5. Cho đường tròn (O;R), lấy điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ đường thẳng d
vuông góc với OA tại A. Lấy điểm M d, kẻ tiếp tuyến MB, MC với (O) (B,C là tiếp
điểm), dây BC cắt OM, OA thứ tự tại H, K. Chứng minh:
a) Năm điểm A,B,O,C,M cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Chứng minh: OH.OM =R2; OK.OA=OH.OM.
c) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác OHK đạt giá trị lớn nhất
Bài 6: Một mảnh đất hình vuông
cạnh 30m. Người ta xây
dựng một vườn hoa dạng hình vuông
có các đỉnh
thuộc các cạnh của hình vuông
(hình vẽ). Xác định vị trí
điểm trên cạnh
để diện tích vườn hoa nhỏ nhất.

Bài 7: Bác Hùng định làm một hàng rào hình chữ E dọc theo con sông (như hình vẽ bên) để
quây một khu đất thành hai phần hình chữ nhật bằng nhau, mỗi phần trồng một loại rau. Chi
phí tính theo độ dài hàng rào là 500 nghìn đồng mỗi mét chiều dài đối với mặt hàng rào AB
(mặt hàng rào song song bờ sông) và 400 nghìn đồng
mỗi mét chiều dài đối với ba mặt hàng rào AD, BE, CG
(ba mặt hàng rào song song và bằng nhau).
Tìm diện tích lớn nhất của cả khu đất mà bác Hùng có
thể quây hàng rào với tổng chi phí tối đa là 12 triệu
đồng.

6